搜索有限元學(xué)習(xí)必須知道：隱式與顯式有限元算法
2017-02-27 by:CAE仿真在線 來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)
隱式與顯式有限元最大的區(qū)別在于是否迭代,是否所有的物理量在同一時(shí)刻獲得。采用隱式迭代求解平衡方程(位移、速度和加速度)、而不管是否用隱式與顯式的方法(前向或者后向歐拉求解方法)求解本構(gòu)方程(應(yīng)力和應(yīng)變)叫做隱式有限元;用顯式時(shí)間積分的方法求解叫做顯式有限元。
首先,對(duì)于本構(gòu)方程的求解,通常分為前向和后向歐拉算法。對(duì)于后向歐拉算法求解彈塑性問(wèn)題,所有的物理量(包括等效塑性應(yīng)變?cè)隽?、N+1迭代步的應(yīng)變和應(yīng)力以及相關(guān)依賴于solution的狀態(tài)變量)均是同時(shí)求解獲得,因?yàn)樯婕暗蕉鄠€(gè)物理量,而通常情況下他們是相互依賴、相互成為函數(shù),所以必須通過(guò)牛頓迭代同時(shí)求解幾個(gè)方程(如采用試應(yīng)力方程、屈服函數(shù)徑向返回算法(對(duì)于各向異性,也叫回映算法,最近點(diǎn)的投射算法)聯(lián)合求解等效塑性應(yīng)變?cè)隽?。對(duì)于前向歐拉,直接由N時(shí)刻的應(yīng)力和應(yīng)變求出N+1時(shí)刻的應(yīng)力和應(yīng)變,無(wú)需迭代。
其次,對(duì)于平衡方程的求解,通常分為隱式和顯式有限元算法。對(duì)于隱式有限元算法,由應(yīng)力平衡方程+邊界條件變分之后獲得的剛度方程KU=F,隱式求解必須引入雅可比矩陣(二次收斂、只影響計(jì)算速率、不影響數(shù)值精度;K又稱為雅可比),其是實(shí)時(shí)更新的,是N+1時(shí)刻的應(yīng)力、應(yīng)變以及狀態(tài)變量(如損傷內(nèi)變量)的函數(shù),隱式求解是很robust的,確保了計(jì)算精度,但是不足之處在于計(jì)算非常expensive,每次迭代都要計(jì)算K的逆矩陣,也容易產(chǎn)生數(shù)值收斂性問(wèn)題,目前解決的方法有弧長(zhǎng)法、粘性阻尼法等,個(gè)人認(rèn)為粘性阻尼法效果最好。
對(duì)于顯示算法,采用時(shí)間積分,用t+1時(shí)刻的積分點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變,獲得t+1時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)位移,無(wú)需迭代求解,也不需要雅可比矩陣(應(yīng)力對(duì)應(yīng)變偏導(dǎo)數(shù));如果硬是要有,連續(xù)雅可比,基于本構(gòu)模型而不是剛度方程推導(dǎo)近似的連續(xù)雅可比。對(duì)于顯示算法,單元高斯積分點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變的求解可用前向或者后向歐拉方法,然后通過(guò)時(shí)間積分求取節(jié)點(diǎn)位移。本質(zhì)上,平衡方程中位移的迭代求解與本構(gòu)方程中的應(yīng)力、應(yīng)變求解沒(méi)有關(guān)聯(lián),這點(diǎn)很容易造成誤解,很多時(shí)候?qū)⑶?、后歐拉算法視為顯式和隱式的區(qū)別,大大錯(cuò)誤。通常應(yīng)用較廣的顯示算法紐馬克法、威爾遜-sita法,其中改變紐馬克法中的兩個(gè)參數(shù),可以實(shí)現(xiàn)隱式與顯式求解,其中alpha=0.5和beta=0是中心差分法(二階精度)。目前一個(gè)大的誤區(qū)認(rèn)為只有顯示算法可以求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,隱式只能求解準(zhǔn)靜態(tài)問(wèn)題(如低速?zèng)_擊),alpha=0.5和beta=0.25就是隱式,所有的物理量在t+1時(shí)刻同時(shí)求解,通常ABAQUS軟件中所說(shuō)的隱式動(dòng)力學(xué)求解采用了斯坦福大學(xué)Hilber、HUGHES院士(現(xiàn)在德克薩斯大學(xué)奧斯丁分校)和加州大學(xué)伯克利分校Taylor院士提出的無(wú)條件穩(wěn)定隱式差分算法,可以求解低速動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,缺點(diǎn)是不適合含阻尼的求解、計(jì)算效率不高;alpha=0.5和beta=0時(shí)的紐馬克法更適合求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,主要原因在于比隱式求解計(jì)算效率更高,不足之處在于其是條件穩(wěn)定,時(shí)間增量過(guò)大位移解容易震蕩,根本原因是差分算法的條件穩(wěn)定導(dǎo)致的,時(shí)間增量必須非常小(其值越大,一方面不穩(wěn)定、另一方面計(jì)算誤差也更大),其依賴于波速、彈性模量和最小單元網(wǎng)格尺寸,這是顯式算法計(jì)算最耗時(shí)的地方。相對(duì)于隱式算法,顯式算法的功能更強(qiáng)大,通常計(jì)算依賴于率的變形和應(yīng)力,也可以求解穩(wěn)態(tài)問(wèn)題,如alpha=0.5和beta=0時(shí),對(duì)于剛度方程中引入阻尼矩陣后,叫做動(dòng)態(tài)松弛法,可以解決靜力學(xué)問(wèn)題的一些穩(wěn)態(tài)問(wèn)題(如重力、預(yù)應(yīng)力引起的初始應(yīng)力)。此外,一些準(zhǔn)靜態(tài)的剪切自鎖問(wèn)題,本質(zhì)上有解,但是用牛頓法求解失效,中心差分引入質(zhì)量矩陣后,可以獲得正常的解。需要注意的是,時(shí)間積分算法通常采用Lumped集中對(duì)角質(zhì)量矩陣而不是一致質(zhì)量矩陣,以提高計(jì)算效率。總體來(lái)說(shuō),由于計(jì)算效率的問(wèn)題,隱式時(shí)間積分算法ABAQUS-Standard特別適合于低速?zèng)_擊問(wèn)題;對(duì)于高速?zèng)_擊問(wèn)題,由于存在不連續(xù)非線性接觸的動(dòng)響應(yīng)過(guò)程,隱式算法解決不好,使用顯式時(shí)間算法ABAQUS-Explicit更好。此外,對(duì)于瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題,半離散的拋物線方程,中心差分法可以較好獲得溫度分布。
對(duì)于依賴于率的粘塑性問(wèn)題(對(duì)于本質(zhì)上的粘性材料),與彈塑性材料的根本區(qū)別在于,一般來(lái)說(shuō)是一致性條件不滿足(排除彈塑性材料在高溫下的軟化問(wèn)題,對(duì)于這種問(wèn)題,屈服條件也可以滿足),即屈服條件不滿足,N+1時(shí)刻的物理量不用回映到N+1時(shí)刻的屈服面上,粘塑性模型成為過(guò)應(yīng)力模型,顯示和隱式算法都可以求解。對(duì)于依賴于率的本構(gòu)模型,其可解決模擬高速?zèng)_擊、爆炸、彈道射擊問(wèn)題時(shí)存在的動(dòng)態(tài)應(yīng)變局部化問(wèn)題(對(duì)于動(dòng)態(tài)問(wèn)題,平衡方程喪失雙曲線特性;對(duì)于靜態(tài)問(wèn)題,平衡方程失去橢圓性),解決網(wǎng)格尺寸效應(yīng),其實(shí)質(zhì)上是引入了適當(dāng)?shù)淖枘徇t滯效應(yīng)。需要注意的是,對(duì)于大變形(又稱為有限變形)問(wèn)題,Cauchy應(yīng)力率和速度梯度(包括客觀和對(duì)稱的扭曲張量率D、不客觀和反對(duì)稱的spin旋轉(zhuǎn)張量W兩個(gè)部分)均是不客觀的,為解釋剛體旋轉(zhuǎn)(如純剪切變形就包含剛體旋轉(zhuǎn)),在共旋坐標(biāo)系下面求解真實(shí)應(yīng)力和應(yīng)變,應(yīng)力和應(yīng)變積分求解的時(shí)候應(yīng)首先求解客觀性的Jaumann應(yīng)力率(相對(duì)于真實(shí)應(yīng)力,空間坐標(biāo)系),相對(duì)于Second Piola-Kirchhoff應(yīng)力是Truesdell率(材料坐標(biāo)系)。ABAQUS軟件對(duì)于大變形問(wèn)題已經(jīng)做了旋轉(zhuǎn)。
對(duì)于一些耦合場(chǎng)問(wèn)題,由于計(jì)算量非常大,同時(shí)要求解太多物理量,如熱-流-固耦合,要求解位移、壓力、溫度,采用純隱式算法或顯式算法基本不太獲得收斂或準(zhǔn)確的解,這時(shí)候可采用混合的隱式與顯式有限元格式mixed implicit-explicit partitoning方法,將剛度矩陣和阻尼矩陣分成兩個(gè)部分,在同一區(qū)域采取不同算法,提高計(jì)算效率和精度、穩(wěn)定性和收斂性。
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