接觸問(wèn)題的非線性有限元分析

2017-07-12  by:CAE仿真在線  來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

引言

在工程結(jié)構(gòu)中,經(jīng)常會(huì)遇到大量的接觸問(wèn)題?；疖囓囕喤c鋼軌之間,齒輪的嚙合是典型的接觸問(wèn)題。在水利和土木工程中,建筑物基礎(chǔ)與地基,混凝土壩分縫兩側(cè),地下洞室襯砌與圍巖之間,巖體結(jié)構(gòu)面兩側(cè)都存在接觸問(wèn)題。對(duì)于具有接觸面的結(jié)構(gòu),在承受荷載的過(guò)程中,接觸面的狀態(tài)通常是變化的,這將影響接觸體的應(yīng)力場(chǎng)。而應(yīng)力場(chǎng)的改變反過(guò)來(lái)又影響接觸狀態(tài),這是一個(gè)非線性的過(guò)程。由于接觸問(wèn)題對(duì)工程實(shí)踐的重要性,本章將作為專門問(wèn)題進(jìn)行研究。

最早對(duì)接觸問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)研究的是H. Hertz,他在1882年發(fā)表了《彈性接觸問(wèn)題》一書(shū)中,提出經(jīng)典的Hertz彈性接觸理論。后來(lái)Boussinesg等其他學(xué)者又進(jìn)一步發(fā)展了這個(gè)理論。但他們都是采用一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式來(lái)研究接觸問(wèn)題,因而只能解決形狀簡(jiǎn)單(如半無(wú)限大體)、接觸狀態(tài)不復(fù)雜的接觸問(wèn)題。

二十世紀(jì)六十年代以后,隨著計(jì)算機(jī)和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展,使應(yīng)用數(shù)值方法解決復(fù)雜接觸問(wèn)題成為可能。目前,分析接觸問(wèn)題的數(shù)值方法大致可分為三類:有限元法、邊界元法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法。

數(shù)學(xué)規(guī)劃法是一種優(yōu)化方法,求解接觸問(wèn)題時(shí),根據(jù)接觸準(zhǔn)則或變分不等式建立數(shù)學(xué)模型,然后采用二次規(guī)劃或罰函數(shù)方法給出解答。

邊界元方法也被用來(lái)求解接觸問(wèn)題,1980年和1981年,Anderson先后發(fā)表兩篇文章,用于求解無(wú)摩擦彈性接觸和有摩擦彈性接觸問(wèn)題。近年來(lái)雖有所發(fā)展,但仍主要用于解決彈性接觸問(wèn)題。

就目前的發(fā)展水平來(lái)看,數(shù)學(xué)規(guī)劃法和邊界元法只適合于解決比較簡(jiǎn)單的彈性接觸問(wèn)題。對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的接觸非線性問(wèn)題,如大變形、彈塑性接觸問(wèn)題,還是有限元方法比較成熟、比較有效。

早在1970年,Wilson和Parsons提出一種位移有限元方法求解接觸問(wèn)題。Chan和Tuba,Ohte等進(jìn)一步發(fā)展了這類方法。它的基本思想是假定接觸狀態(tài),求出接觸力,檢驗(yàn)接觸條件,若與假定的接觸狀態(tài)不符,則重新假定接觸狀態(tài),直至迭代計(jì)算得到的接觸狀態(tài)與假定狀態(tài)一致為止。具體做法是:

對(duì)于彈性接觸的兩個(gè)物體,通過(guò)有限元離散,建立支配方程

(5.1)

式中,為初始的整體勁度矩陣,它與接觸狀態(tài)有關(guān),通常根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際情況假定。是結(jié)點(diǎn)位移列陣,為結(jié)點(diǎn)荷載列陣。

求解式(5.1),得到結(jié)點(diǎn)位移,再計(jì)算接觸點(diǎn)的接觸力,將和代入與假定接觸狀態(tài)相應(yīng)的接觸條件,如果不滿足接觸條件,就要修改接觸狀態(tài)。根據(jù)修改后新的接觸狀態(tài),建立新的勁度矩陣和支配方程

(5.2)

再由式(5.2)解得,進(jìn)一步計(jì)算接觸力,將和代入接觸條件,驗(yàn)算接觸條件是否滿足。這樣不斷的迭代循環(huán),直至和滿足接觸條件為止,此時(shí)得到的解答就是真實(shí)接觸狀態(tài)下的解答。

在以上的研究中,沒(méi)有考慮接觸面的摩擦力。不考慮摩擦力的接觸過(guò)程是一種可逆的過(guò)程,即最終結(jié)果與加載途徑無(wú)關(guān)。此時(shí),只需要進(jìn)行一次加載,就能得到最終穩(wěn)定的解。如果考慮接觸面的摩擦力,接觸過(guò)程就是不可逆的,必須采用增量加載的方法進(jìn)行接觸分析。1973年,Tusta和Yamaji的文章詳細(xì)討論了接觸過(guò)程的可逆性和不可逆性。

從Wilson和Parsons的方法可看出,每一次接觸狀態(tài)的改變,都要重新形成整體勁度矩陣,求解全部的支配方程,既占內(nèi)存,又費(fèi)機(jī)時(shí)。實(shí)際上,接觸狀態(tài)的改變是局部的,只有與接觸區(qū)域有關(guān)的一小部分需要變動(dòng),為此又提出一些改進(jìn)的方法。

1975年,Francavilla和Zienkiewicz 提出相對(duì)簡(jiǎn)單的柔度法。圖1、示出兩個(gè)相互接觸的物體A和B,假定A上有外力R作用,B有固定邊界。接觸面作用在A上的接觸力是

,作用在B上的接觸力是,對(duì)于二維問(wèn)題,

(5.3)

這些接觸力是未知的,假定有m個(gè)接觸點(diǎn)對(duì),則增加了4m個(gè)未知量,為此需要補(bǔ)充4m個(gè)方程。現(xiàn)列出接觸點(diǎn)的柔度方程

(5.4)

其中,

和分別是物體A和B在接觸點(diǎn)i處的位移,和分別表示物體A和B因j點(diǎn)作用單位力時(shí)在i點(diǎn)引起的位移(即柔度系數(shù))所組成的柔度子矩陣,m1是外荷載作用的點(diǎn)數(shù),為第k個(gè)荷載作用點(diǎn)上的荷載向量。

如果物體A和B之間的接觸屬于連續(xù)接觸,則接觸條件為

(5.5)

(5.6)

(5.5)和(5.6)是4m個(gè)補(bǔ)充方程,式中,是第i個(gè)接觸點(diǎn)對(duì)的初始間隙向量。由于式(5.6)的存在,令,未知量數(shù)目減少,增加的未知量剩下2m個(gè)。將式(5.4)和(5.6)代入(5.5)得

(5.7)

式(5.7)共有2m個(gè)補(bǔ)充方程。

對(duì)于滑動(dòng)接觸和不接觸的自由邊界,同樣可根據(jù)相應(yīng)的接觸條件列出與式(5.7)類似的補(bǔ)充方程求解。

引入接觸條件后,接觸狀態(tài)變化時(shí),計(jì)算對(duì)象的整體勁度矩陣不再改變,出現(xiàn)的問(wèn)題是增加了未知量數(shù),需要建立補(bǔ)充方程。但由于補(bǔ)充方程(5.7)中,

、和不隨接觸狀態(tài)的改變而變化,而且接觸點(diǎn)的數(shù)目遠(yuǎn)小于整體的結(jié)點(diǎn)數(shù),因而可大大節(jié)約計(jì)算時(shí)間,提高了求解接觸問(wèn)題的效率。

另外一種提高接觸問(wèn)題計(jì)算效率的方法是把接觸點(diǎn)對(duì)作為“單元”考慮。1979年,Okamoto和Nakazawa提出“接觸單元”,它是根據(jù)接觸點(diǎn)對(duì)位移與力之間的接觸條件建立的。接觸單元和普通單元一樣,可以直接組裝到整體勁度矩陣中去。然后對(duì)支配方程進(jìn)行“靜力凝聚”,保留接觸面各點(diǎn)的自由度,得到在接觸點(diǎn)凝聚的支配方程。由于接觸點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)小于結(jié)點(diǎn)數(shù),凝聚后的方程階數(shù)比未凝聚時(shí)方程階數(shù)低得多。當(dāng)接觸狀態(tài)改變時(shí),只需對(duì)凝聚的支配方程進(jìn)行修正和求解,因而可節(jié)約計(jì)算時(shí)間。

1975年,Schafer根據(jù)虛功原理推導(dǎo)了“連接單元”,也可以象普通單元一樣地形成和組裝到整體勁度矩陣中。連接單元包含有接觸面的接觸特性,通過(guò)改變形成單元的某些參數(shù),來(lái)反映不同的接觸狀態(tài)。

1977年,J. T. Stadter和R. O. Weiss提出間隙元方法。“間隙元”是一種虛設(shè)的具有一定物理性質(zhì)的特殊接觸單元,其內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變反映了接觸狀態(tài),并利用塑性力學(xué)中的“應(yīng)力不變”準(zhǔn)則來(lái)模擬接觸過(guò)程。

目前的接觸研究主要集中在彈性接觸問(wèn)題,關(guān)于彈塑性接觸問(wèn)題的研究也有了相當(dāng)?shù)倪M(jìn)展,但有關(guān)大變形彈塑性接觸的研究成果還很少。

彈性接觸問(wèn)題

基本假定

在分析彈性接觸問(wèn)題時(shí),有如下的基本假定:

(1) 接觸物體的材料是線彈性的,位移和變形是微小的;

(2) 作用在接觸面上的摩擦力服從Mohr-Coulomb準(zhǔn)則;

(3) 接觸面連續(xù)平滑。

5.2.2 接觸條件

所謂接觸條件,是指接觸面上接觸點(diǎn)處的位移和力的條件。利用接觸條件,可以判斷接觸物體之間的接觸狀態(tài)。接觸狀態(tài)可分為三類:連續(xù)接觸,滑動(dòng)接觸和自由邊界。為了更方便地表示接觸條件,需要在接觸面上建立局部坐標(biāo)系

,如圖5.2所示。由于一般情況下,A、B兩個(gè)物體在接觸點(diǎn)處無(wú)公共切面和公共法線,因此,局部坐標(biāo)系的軸只能盡可能地接近公法線方向,平面盡可能地接近公切面。

令和分別是第j個(gè)接觸物體(j=A, B)沿第i個(gè)局部坐標(biāo)(i=)的位移和接觸力,則三類接觸條件可表示為:

(1) 連續(xù)接觸條件

(i=) (5.8)

(i=) (5.9)

同時(shí)要滿足沿接觸面的切平面方向不滑動(dòng)的條件:

和 (5.10)

以上式中,是接觸面在方向的初始間隙,f是接觸面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)。

(2) 滑動(dòng)接觸條件

(5.11)

(i=)或者表示為

和 (5.12)

其中,,,

(3) 自由邊界條件

(i=) (5.13)

(5.14)

以上接觸條件中出現(xiàn)的位移和接觸力通常都是未知量,因此需要采用迭代算法,即首先假定接觸狀態(tài),根據(jù)假定的接觸狀態(tài)建立有限元求解的支配方程,求解方程得到接觸面的位移和接觸力,并校核接觸條件是否與原來(lái)假定的接觸狀態(tài)相符。若不同,就要修正接觸狀態(tài),這樣不斷地循環(huán),直到接觸狀態(tài)穩(wěn)定為止。實(shí)際上,這是一個(gè)局部的幾何非線性問(wèn)題。

接觸問(wèn)題的可逆性

對(duì)于接觸問(wèn)題,存在可逆和不可逆兩種接觸狀態(tài)。所謂“可逆”,是指沿不同的加載途徑,其最終的結(jié)果是相同的?！安豢赡妗眲t是指對(duì)于不同的加載途徑,最后的結(jié)果不同。發(fā)生不可逆過(guò)程的原因是由于接觸面出現(xiàn)了滑動(dòng)摩擦,下面的例子可以說(shuō)明這一點(diǎn)。

圖5.3示出一個(gè)由A、B、C三個(gè)物體組成的接觸問(wèn)題。物體A上面作用有勻布荷載R,左邊為鉸支座。物體C左邊和下面均有鉸支座。物體B在勻布荷載Q的作用下,可以沿著上下兩個(gè)接觸面滑移。加載分三步:

(1) 施加荷載R,并保持R0不變;

(2) 施加荷載Q,從0增加到Q0;

(3) 逐漸減小荷載R,回到0。

現(xiàn)考察A、B接觸面上某一點(diǎn)s的切向力q隨荷載Q的變化過(guò)程。當(dāng)Q=0時(shí),假定q=0。隨著Q的增大,q也增大,直到物體B發(fā)生滑動(dòng),此時(shí)q=-fP0,見(jiàn)圖5.3中的t1點(diǎn)。q保持此值,直至Q=Q0為止,此時(shí),相應(yīng)的點(diǎn)為t2。接著,Q開(kāi)始減小,從平衡的角度,q也減小,逐漸到零。由于這時(shí)Q還未減小到零,q會(huì)繼續(xù)減小,實(shí)際上是改變符號(hào),向相反方向增加,直到q=fP0(t3點(diǎn)),當(dāng)Q減小到零時(shí),回到點(diǎn)t4。

可以看出,由于接觸面滑動(dòng)摩擦的存在,最終狀態(tài)t4與初始狀態(tài)t0是不同的,說(shuō)明切向接觸力是不可逆的。

因此,凡是考慮接觸面切向摩擦力的接觸問(wèn)題,都應(yīng)當(dāng)按復(fù)雜加載過(guò)程來(lái)研究,即通過(guò)增量的方式求解。對(duì)于不考慮摩擦的可逆過(guò)程,是一種簡(jiǎn)單加載過(guò)程,可以一步加載完成求解。

彈性接觸問(wèn)題有限元基本方程和柔度法求解

假設(shè)A、B是相互接觸的兩個(gè)物體,為了研究的方便,將它們分開(kāi),代之以接觸力PA和PB,如圖5.4所示。然后建立各自的有限元支配方程:

(5.15)

式中,KA、和RA分別是物體A的整體勁度矩陣、結(jié)點(diǎn)位移列陣和外荷載,KB、

和RB分別是物體B的整體勁度矩陣、結(jié)點(diǎn)位移列陣和外荷載。

顯然,接觸力PA和PB都是增加的未知量,無(wú)法由式(5.15)求出,必須根據(jù)接觸面上接觸點(diǎn)對(duì)的相容條件確定。

設(shè)A、B上的接觸點(diǎn)對(duì)為iA和iB(i=1, 2, …, m),假定勁度矩陣KA和KB非奇異,可求逆,則由式(5.15)得到接觸點(diǎn)的柔度方程

(5.16)

式中,i、j=1, 2, …, m表示結(jié)點(diǎn)號(hào),m是接觸點(diǎn)對(duì)數(shù)目,nA、nB分別為作用在物體A和B上外荷載的作用點(diǎn)數(shù),和表示物體A和B上接觸點(diǎn)i的位移

、是A和B上接觸點(diǎn)j的接觸力

、為A和B上結(jié)點(diǎn)k的外荷載

、表示物體A和B上,由j點(diǎn)的單位力引起的i點(diǎn)在x、y、z三個(gè)方向的位移,是一個(gè)3×3階的柔度矩陣。

在列出相容條件,求解接觸問(wèn)題之前,有兩個(gè)問(wèn)題需要解決。

首先是消除剛體位移的問(wèn)題。因?yàn)榈玫椒匠?5.16)的前提是KA和KB非奇異可求逆,也就是說(shuō)物體A和B要有足夠的約束,不會(huì)發(fā)生剛體位移。但是有些接觸物問(wèn)題中,可能會(huì)有某個(gè)物體由于約束不夠產(chǎn)生剛體位移,此時(shí)須對(duì)剛體位移進(jìn)行處理。

以圖5.4中的物體A為例,假定它的約束不夠,則KA為奇異矩陣,記為。引入虛擬的約束,消除A的剛體位移,則(5.15)的第一式可改寫為

(5.17)

其中,是與虛擬約束相應(yīng)的位移向量,I是單位矩陣。由上式得到

(5.18)

從式(5.18)導(dǎo)出物體A上接觸點(diǎn)的柔度方程

(i=1, 2, …, m) (5.19)

Fi是與剛體位移相應(yīng)的柔度矩陣。

第二個(gè)問(wèn)題是,要將上述整體坐標(biāo)系下的量轉(zhuǎn)化到接觸面的局部坐標(biāo)系

。接觸點(diǎn)位移和接觸力在不同坐標(biāo)系下的表達(dá)式有以下的關(guān)系

(A、B) (5.20)

式中,是結(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,、分別是接觸面局部坐標(biāo)系下,結(jié)點(diǎn)i的接觸力和位移。將式(5.20)代入式(5.19),得

(5.21)

其中,

,,。同樣,將式(5.20)代入式(5.16)的第二式,得

(5.22)

以下將針對(duì)三類接觸條件建立相應(yīng)的相容方程。

(1) 連續(xù)邊界

根據(jù)前面的連續(xù)邊界條件(5.9),可以建立接觸點(diǎn)的位移相容方程

(5.23)

是第i個(gè)接觸點(diǎn)對(duì)在局部坐標(biāo)系下的初始間隙。將(5.21)和(5.22)代入(5.23),并注意有

,可得

(5.24)

式中,

(5.25)

(5.26)

(2) 滑動(dòng)邊界

接觸面局部坐標(biāo)系方向的位移仍然滿足式(5.23),但在切平面的和方向,接觸力的合力已經(jīng)達(dá)到摩擦極限,按照Mohr-Coulomb定律,則有

(5.27)

(3) 自由邊界

(5.28)

以上建立的相容方程,為原來(lái)的有限元支配方程增加了3m個(gè)補(bǔ)充方程,以求解3m個(gè)增加的未知接觸力Pj (j=1, 2, …, m)。

在建立相容方程時(shí),必須知道接觸狀態(tài),而接觸狀態(tài)事先也是未知的,因此這是一個(gè)迭代求解的過(guò)程。一般先假定為連續(xù)接觸狀態(tài),按式(5.24)建立全部接觸點(diǎn)的相容方程,求出接觸力后,驗(yàn)證接觸條件是否滿足連續(xù)接觸,若是則不作修改;若為滑動(dòng)狀態(tài),就用式(5.27)來(lái)代替這個(gè)接觸點(diǎn)在和兩個(gè)方向相應(yīng)的方程;若是自由狀態(tài),就用式(5.28)替換這個(gè)接觸點(diǎn)的所有相應(yīng)方程。這樣通過(guò)反復(fù)迭代,就可以求得真正的接觸力和相應(yīng)的相容方程。

相容方程的增量形式

對(duì)于具有滑動(dòng)摩擦的接觸問(wèn)題,由于接觸過(guò)程的不可逆,需要采用增量方式加載、假定分級(jí)加載的次數(shù)為np,在進(jìn)行第l級(jí)加載前已經(jīng)施加的混雜為

和,本級(jí)荷載增量為和,這樣式(5.24)就變成

(5.29)

注意式中的各項(xiàng)有,

將上述各式代回式(5.29),得

(5.30)

令

(5.31)

則(5.30)成為

(5.32)

式(5.32)為連續(xù)接觸條件相容方程的增量形式。

對(duì)于滑動(dòng)接觸條件,方向的相容方程與式(5.32)類似,和方向上相容方程的增量形式可表示為

(5.33)

對(duì)于自由接觸條件,相容方程的增量形式則為

(5.34)

以上得到的接觸點(diǎn)相容方程,由于剛體位移的存在,其未知量數(shù)目仍然大于方程數(shù),因此必須補(bǔ)充整體平衡方程。

對(duì)于第l級(jí)加載,整體平衡方程為

(5.35)

其中,

代入式(5.35)得

注意

整體平衡方程為

(5.36)

間隙元方法

上一節(jié)的柔度法對(duì)大面積的接觸問(wèn)題不合適,因?yàn)榻佑|面積大,就需要布置比較多的接觸點(diǎn)對(duì),從而引起柔度矩陣求逆的困難。另外,對(duì)于多個(gè)物體的接觸問(wèn)題,柔度法還不夠成熟。因此,對(duì)于大面積接觸和多體接觸問(wèn)題,常常采用間隙元方法。

間隙元的基本思想是提高虛設(shè)的間隙單元來(lái)聯(lián)接相互接觸的物體,并人為構(gòu)造單元的物理特性以模擬接觸過(guò)程。

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